Принцип Дирихле.

Автор: Кошина Елена Николаевна

учитель математики

Принцип Дирихле

1 занятие.

На доске записаны вопросы, на которые необходимо ответить в конце занятия.

Выданы тексты с теорией и задачами.

1. Что такое принцип Дирихле?

2. Зачем он нужен?

3. Почему он так называется?

4. Какие выводы вы можете сделать после изученного метода?

Цель: Научиться решать простейшие задачи данным методом.

Принцип Дирихле применяется при решении различных математических задач.

Суть принципа: Если в N множествах содержится более N элементов, то есть хотя бы одно множество, содержащее не менее двух элементов.

Пусть N клеток и N+1 заяц, тогда найдется клетка, в которой сидит не менее двух зайцев.

Доказательство от противного: Пусть такой клетки нет. Тогда в каждой клетке не более одного зайца, а всего не более N зайцев. А зайцев N+1. Противоречие, значит есть клетка в которой не менее двух зайцев.

Популярная формулировка: «Если в n клетках сидит m зайцев, причем m>n, то хотя бы в одной клетке сидят, по крайней мере, два зайца».(«зайцев» больше, чем «клеток»). И по другому: «Пусть в n клетках сидят m зайцев, причем n>m. Тогда найдется хотя бы одна пустая клетка». («Клеток» больше, чем «зайцев»)

Принцип прост. Но он является мощным математическим методом.

Историческая справка: Петер Лежен Дирихле- немецкий математик XIX века. Использовал этот принцип при решении различных арифметических задач.

Примеры задач:

1. В классе 16 учеников. Докажите, что найдутся как минимум 2 ученика, отмечающих дни рождения в один месяц.

Решение: Пусть 16 учеников - это «зайцы», тогда месяцы, их 12 — это «клетки». Рассадим «зайцев» по «клеткам». 16>12, значит по принципу Дирихле, найдется, как минимум, одна «клетка», в которой будет сидеть, по крайней мере, 2 «зайца». То есть, найдется месяц, в котором будут отмечать дни рождения, не менее 2 учеников.

2. В ковре размером 3х3 метра Петя проделал 8 дырок. Докажите, что из него можно вырезать коврик размером 1х1 метр, не содержащий внутри себя дырок.

Решение: В данной задаче наоборот, дырки будут «зайцами». Разрежем ковер на 9 ковриков 1х1 метр. Так как ковриков «клеток» - 9, а дырок - «зайцев» - 8, то найдется хотя бы одна «клетка», в которой не будет «зайца», то есть найдется коврик без дырок внутри.

Задачи:

1. В классе 35 учеников. Можно ли утверждать, что среди них найдутся хотя бы два ученика, фамилии которых начинаются с одной буквы.

2. На турбазу приехали 36 человек. Комнат - 42. Докажите, что найдется комната, в которую не поселился ни один человек.

3. В классе 26 учеников, из них более половины — девочки. Докажите, что какие то 2 девочки сидят за одним столом, если в классе 13 столов.

4. На шахматной доске размером 8х8 Петя расставил 14 фигур. Докажите, что найдется квадрат размером 2х2, в котором не будет фигур. (Фигуры размещаются внутри клеток размером 1х1).

Предполагаемый вывод: Главное в задаче понять, что является «зайцами», а что «клетками». Понять, что должно быть больше.

Домашнее задание:

Решить задачи, используя принцип Дирихле.

1. В школе 32 класса. На спортивной площадке находится 35 учеников этой школы. Можно ли утверждать, что среди них обязательно найдутся хотя бы два одноклассника?

2. 15 девочек собрали 100 орехов. Докажите, что какие-то две из них собрали одинаковое число орехов.

3. В ковре размером 4х4 моль проела 15 дырок. Докажите, что из него можно вырезать коврик размером 1 х 1 метр, не содержащий внутри себя дырок. (Дырки считаются точечными).

Обобщенный принцип Дирихле ждет вас на следующем занятии!

Используемая литература :

1. А.В.Фарков Готовимся к олимпиадам по математике., издательство «Экзамен». Москва, 2010.

2. А.В. Фарков. Математические кружки в школе. 5-8 классы. Айрис-пресс, Москва, 2006.

3. https://www.mccme.ru/courses/dirihle.html